1. Experimento aleatório: todo experimento cujo resultado depende exclusivamente do acaso.
2. Espaço amostral: é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado de evento desse espaço.
Exemplos:
a) No lançamento de uma moeda, temos:
- espaço amostral o conjunto E = {C, k} → C = cara e K = coroa;
- n(E) = 2 → o número de elementos do espaço;
- o sbconjunto A = {C} é um evento de E, sendo n(A) = 1.
b) No lançamento de um dado, temos:
- espaço amostral o conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → números de pontos em cada face do dado;
- n(E) = 6 → o número de elementos do espaço;
- o sbconjunto B = {1, 4} é um evento de E, sendo n(B) = 2.
c) No lançamento de duas moedas, temos:
- espaço amostral o conjunto E = {(C, C), (C, K), (K, C), (K, k)} → C = cara e K = coroa;
- n(E) = 4 → o número de elementos do espaço;
- o sbconjunto G = {(C, C), (C, K), (K, C)} é um evento de E, sendo n(G) = 3.
3. Probabilidade: sejam E um espaço amostral, finito e não vazio, e A um evento de E. A probabilidade de ocorrer algum elemento de A é indicada por P(A) e definida por: P(A) = n(A)/n(E), em que n(A) e n(E) indicam, respectivamente, o número de elementos de A e de E.
4. Propriedades das probabilidades
P1. P(Ø) = 0, pois n(Ø)/n(E) = 0/n(E) = 0
P2. P(E) = 1, pois n(E)/n(E) = 1
P3. 0 ≤ P(A) ≤ 1
P4. P(A) = 1 – P(B)
5. Adição de probabilidades
- Sendo A e B eventos de um espaço amostral E, finito e não vazio, temos:
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
- Dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos se, e somente se, A∩B = Ø, assim sendo, temos:
P(AUB) = P(A) + P(B)
6. Multiplicação de probabilidades
- Se A e B forem eventos independentes, então:
P(A∩B) = P(A).P(B)
- Esse teorema é aplicado em problemas que pedem a probabilidade de ocorrer um evento A e um evento B, pois o conectivo “e” indica a intersecção dos eventos.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. (ESA) Em uma escola com 500 alunos, foi realizada uma pesquisa para determinar a tipagem sanguínea destes. Observou-se que 115 tinham o antígeno A, 235 tinham o antígeno B e 225 não possuíam nenhum dos dois. Escolhendo ao acaso um destes alunos, a probabilidade de que ele seja do tipo AB, isto é, possua os dois antígenos, é
A) 15%
B) 23%
C) 30%
D) 45%
E) 47%
RESOLUÇÃO:
antígeno
AB = X
antígeno
A = 115 ou 235 - x
antígeno
B = 235 ou 115 - x
Número
de alunos que não possuem nenhum dos dois antígenos = 225
Total
de alunos = 500
235 – x + x + 115 – x + 225= 500
x
= 500 - 575
x
= - 75, então P = 75/500 = 0,15 = 15%
RESPOSTA: A
2. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de a face superior aparesentar um número menor que 7?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
RESOLUÇÃO:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(A) = 6
E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(E) = 6
P(E) = n(A)/n(E) = 6/6 = 1
RESPOSTA: A
3. No lançamento simultâneo de uma moeda e um dado, a probabilidade de a face 3 no dado cair voltada para cima é:
A) 10%
B) 12%
C) 16,7%
D) 19,5%
E) 25%
RESOLUÇÃO:
K = koroa
C = cara
Espaço amostral: E = {(k, 1); (k, 2), (k, 3); (k, 4); (k, 5); (k, 6); (C, 1); (C, 2), (C, 3); (C, 4); (C, 5); (C, 6) → n(E) = 12
O subconjunto com face 3 no dado é A {(k, 3); (C, 3)} → n(A) = 2
Logo, P(E) = n(A)/n(E) = 2/12 = 0,1666... ou ≈ 16,7%
RESPOSTA: C
4. (ESA) A probabilidade de um jogador de futebol marcar o gol ao cobrar um pênalti, é de 80%. Se esse jogador cobrar dois pênaltis consecutivos, a probabilidade dele fazer o gol, em ambas as cobranças, é igual a:
A) 16%
B) 20%
C) 32%
D) 64%
E) 80%
RESOLUÇÃO:
Se A e B forem eventos independentes, então: P(A∩B) = P(A).P(B) → 80%. 80% = 64%
RESPOSTA: D
5. Em um pacote de balas, há 5 de sabor morango e 8 de sabor laranja. Se 4 balas forem retiradas ao acaso, qual é a probabilidade de serem, todas, de sabor morango?
A) 2,2%
B) 3,5%
C) 3,2%
D) 6,4%
E) 8%
RESOLUÇÃO:
Considerando um grupo de 15 balas, do qual serão retiradas 3, sem importar a ordem, o número de elementos do espaço amostral é dado pelo número de combinações de 13 tomadas 4 a 4 → C15, 3
n(E) = 15!/3!.(15 – 3)!
n(E) = 15!/3!.12! = 455
Temos A: 4 balas sabor morando, de um total de 5. Então: n(A) = C5,3 = 5!/3!.(5-3)! = 10
P(A) = n(A)/n(E) = 10/455 = 2,2%
RESPOSTA: A