PROJETO MILITAR: Análise combinatória

1. Análise combinatória

Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações.

2. Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: T = k1. k2 . k3 . ... . kn

3. Princípio Aditivo da Contagem (PAC)

Sendo A e B conjuntos finitos, o número de elementos da união de A e B é dado por:

n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

4. Fatorial

Seja n um número natural, com n ≥ 2. Defini-se o fatoria de n, representado por n!, como o produto dos números naturais consecutivos n, n -1, n -2,..., 1. Isto é: n! = n(n-1).(n-2). … . 1

4.1 – Propriedade fundamental dos fatoriais:

Sendo, (n ≥ 3), então: n! = n.(n-1)!

Temos ainda: 1! = 1 e 0! = 1

5. Classificação dos agrupamentos

5.1 - Arranjos: são agrupamentos em que se considera a ordem dos elementos; qualquer mudança na ordem dos elementos altera o agrupamento.

246 ≠ 426

5.2 - Combinações: são agrupamentos em que não se considera a ordem dos elementos; portanto, mudança na ordem dos elementos não alteram o agrupamento.

Vermelho e azul = azul e vermelho

6. Arranjos simples

Dados os n elementos distintos do conjunto I = {a1, a2, a3, …, an}, chama-se arranjo simples de p elementos de I toda sequência formada por p elementos distintos de I com p pertencente aos naturais não nulos e p ≤ n.

Matematicamente temos: An, p = n!/(n – p)!

7. Combinaçao simples

Dados os n elementos distintos do conjunto I = {a1, a2, a3, …, an}, chama-se combinação simples de p elementos de I todo subconjunto de I formado por p elementos com {n, p} contido nos naturais e p ≤ n.

Matematicamente temos: Cn, p = n!/p!(n – p)!

8. Permutações:

8.1 – Permutação simples:

Dados os n elementos distintos do conjunto I = {a1, a2, a3, …, an}, chama-se permutação simples dos n elementos de I todos arranjo simples desses n elementos tomados n a n.

Matematicamente temos: Pn = n!

8.2 – Permutações com elementos repetitivos: Pn^{(n1, n2, n3, …, nk)} = n!/(n1!.n2!.n3!. … . nk!)

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Uma loja de roupas femininas vende quatro modelos de calça jeans. Cada calça pode ter uma das cores: preta, marrom ou azul. Quantas opções de escolha terá uma consumidora interessada em comprar uma calça jeans nessa loja?

A) 12

B) 4

C) 3

D) 16

E) 24

RESOLUÇÃO:

Consideremos o esquema abaixo, em que cada quadrinho representa uma escolha da consumidora:

modelo	cor
4 possibilidades	3 possibilidades

Pelo PFC , o número de escolhas é dado pelo produto: 4 . 3 = 12

RESPOSTA: A

02. Quantos números naturais de três algarismos podem formar os dígitos 3, 5, 7, 8 e 9?

A) 25

B) 60

C) 125

D) 100

E) 15

RESOLUÇÃO:

No esquema a seguir, as casas, da esquerda para a direita, representam as centenas, dezenas e as unidades, respectivamente.

Conforme enunciado, não há restrição, ou seja, pode haver repetição de algarismos, sendo assim, temos:

centenas	dezenas	unidades
5	5	5

Pelo PFC: 5 . 5 . 5 = 125

RESPOSTA: C

03. Quantos números naturais de três algarismos distintos podem formar os dígitos 3, 5, 7, 8 e 9?

A) 125

B) 60

C) 120

D) 15

E) 5

RESOLUÇÃO:

No esquema abaixo, cada casa pode ser preenchida com um dos algarismos 3, 5, 7, 8 e 9 sem repetição de algarismos.

centenas	dezenas	unidades
5	4	3

Pelo PFC: 5. 4 . 3 = 60

RESPOSTA: B

04. Mensalmente, um colégio oferece aos alunos duas palestras para orientação profissional. No mês passado, a primeira foi sobre Estatística, e a segunda, sobre Economia. Todos os alunos de uma classe assisitiram a pelo menos uma das palestras e, entre eles, 18 assistiram à primeira, 23 assistiram à segunda e 8 assistiram às duas palestras. Quantos alunos há nessa classe:

A) 40 min.

B) 35 min.

C) 33 min.

D) 22 min.

E) 15 min

RESOLUÇÃO:

Princípio Aditivo da Contagem (PAC), temos:

Total de alunos: n(AUB) = ?

n(A) = 18

n(B) = 23

n(A∩B) = 8

Logo:

n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

n(AUB) = 18 + 23 – 8

n(AUB) = 33

RESPOSTA: C

05. Simplificando a fração 5!.8!/4!.7! obtemos:

A) 10

B) 20

C) 30

D) 40

E) 50

RESOLUÇÃO:

5!.8!/4!.7! = 5.4!.8.7!/4!.7! = 5.8 = 40

RESPOSTA: D

06. (UEL-PR) Se o número natural n é tal que [n! + 2(n – 1)!]/(n – 2)! = 18, então n é um número:

A) menor que 3

B) divisível por 5

C) divisível por 2

D) maior que 10

E) múltiplo de 7

RESOLUÇÃO:

Condição de existência: n pertence ao naturais e n ≥ 2

Resolvendo [n! + 2(n – 1)!]/(n – 2)! = 18 obtemos:

[n! + 2(n – 1)!]/(n – 2)! = 18 → [n(n – 1)(n-2)! + 2(n – 1)(n – 2)!]/(n – 2)! = 18

(n – 1).(n - 2)!(n + 2)/(n – 2) = 18 → (n – 1).(n + 2) = 18

n² + n – 20 = 0 → n = 4 ou n = - 5 (não convém)

S = {4}

RESPOSTA: C

07. (UFMG) a equação A_n,2 + A_{(n+1), 2} = 18:

A) possui infinitas raízes

B) possui duas raízes distintas

C) possui uma única raiz

D) não possui raiz

RESOLUÇÃO:

Resolvendo a equação An,2 + A(n+1), 2 = 18: obtemos:

n!/(n – 2)! + (n + 1)!/(n – 1)! = 18

n.(n – 1).(n – 2)!/(n – 2)! + (n+1).n.(n – 1)/(n – 1)! = 18

n.(n – 1) + (n + 1).n = 18 → n² – n + n² + n = 18

2n² = 18 → n² = 9, logo n = 3 ou n = - 3 (não convém)

S = {3}

RESPOSTA: C

08. Sabendo-se que C_n,p = n!/p!(n – p)! então, C₇_,₅ - C_6,₀ é igual a:

A) 10

B) 17

C) 20

D) 21

E) 43

RESOLUÇÃO:

Resolvendo C₇_,₅ - C_6,₀obtemos:

C₇_,₅= 7!/5!.(7-5)! = 7!/5!.2! → 7.6.5!/5!.2.1 = 21

C_6,₀= 6!/0!.(6 – 0)! = 6!/1.6! = 1

C₇_,₅ - C_6,₀= 21 – 1 = 20

RESPOSTA: C

09. Considerando a palavra CADERNO, quantos anagramas começam por C e terminam por O?

A) 140

B) 120

C) 100

D) 7!

E) 80

RESOLUÇÃO:

Fixando as letras C e O na primeira e na sétima posição, respectivamente, sobram cinco letras para serem distribuídas nas cinco posições intermediárias:

C	A	D	E	R	N	O
FIXO						FIXO

P₅ = 5! = 120

RESPOSTA: B

10. Qunatos anagramas começam por volgal e terminam por consoantes na palavra COMBATE?

A) 7!

B) 5!

C) 1440

D) 720

E) 2120

RESOLUÇÃO:

Palavra analisada: COMBATE

Vogais: A, E, O

Consoantes: C, M, B, T

Observa-se que existem três possibilidades para o preenchimento da primeira posição e quatro possibilidades para o preenchimento da última posição (sétima). Fixadas uma vogal e uma consoante na primeira e na sétima posição, respectivamente, sobram cinco letras para serem distribuídas nas posições intermediárias: