Definição:
Progressão aritmética
(PA) é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do
segundo é igual à soma do termo anterior com uma constante r,
chamada de razão.
CLASSIFICAÇÃO
DE UMA P.A.
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Crescente:
r > 0 (razão positiva)
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Decrescente:
r < 0 (razão negativa
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Constante:
r = 0 (razão nula)
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FÓRMULA
DO TERMO GERAL DA P.A.
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Numa P.A. (
a1, a2, a3, a4, a5,
…, an, …) de razão r, temos: an
= a1 + (n -1 ) r
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SOMA DOS
TERMOS DE UMA P.A. FINITA
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A soma Sn
dos n primeiros termos da P.A. ( a1, a2,
a3, a4, a5, …, an,
…) é dada por: Sn = (a1 + an)n/2
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REPRESENTAÇÃO
GENÉRICA DE UMA P.A.
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(x, x + r,
x + 2r) P.A. de três termos e razão r, para quaisquer valores de
x e r.
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(x
- r, x, x + r) P.A. de três termos e razão r, para
quaisquer valores de x e r.
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(x, x
+ r, x + 2r, x + 3r) P.A. de quatro termos e razão r, para
quaisquer valores de x e r.
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PROPRIEDADES
DE UMA P.A.
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P1.
Em toda P.A. finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos
extremos é igual à soma dos extremos.
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P2.
Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média
aritmética entre o anterior e o posterior, isto é: (a, b, c) é
P.A., logo b = (a + c)/2
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Observação:
Em uma P.A. com número ímpar de termos, o termo médio é a
média aritmética entre os extremos.
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EXERCÍCIOS
RESOLVIDOS
1.
Determinar o 51º termo da
P.A. (4, 10, 16, 22, …).
Resolução:
an
= a1 + (n -1 ) r
r
= 10 – 4 = 6
a51
= 4 + (51 -1 ).6
a51
= 4 + 50.6 = 4 + 300 = 304
a51
= 304.
2.
Calcule a razão da P.A. em que a1 = 7 e a5 = 8
Resolução
Sabendo-se
que a5 = a1 + 4r, temos:
8
= 7 + 4r
4r
= 8 – 7
r
= 1/4
3.
Calcule a razão da P.A. em que a2 + a3 = 11 e
a4 + a7 = 21.
Resolução
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a2 = a1 + r
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a3 = a1 + 2r
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a4= a1 + 3r
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a7 = a1 + 6r
Assim:
a2
+ a3 = 11 → a1
+ r + a1 + 2r = 11 →
2a1 + 3r = 11 (1)
a4
+ a7 = 21 → a1
+ 3r + a1 + 6r = 21 →
2a1 + 9r = 21 (2)
Subtraindo
membro a mebro de (2) em (1) temos:
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2a1 + 9r = 21
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2a1 + 3r = 11
6r
= 10
r
= 5/3
4.
Determine o número de termos da P.A. (3, 7, 11, …, 99)
Resolução
an
= a1 + (n -1 ) r
r
= 7 – 3 = 4
99
= 3 + (n -1 ).4
(n
– 1).4 = 99 – 3 → n
– 1 = 96/4
n
– 1 = 24 → n
= 25
n
= 25 termos
5.
Calcule o valor de x, para
que a sequência (2x – 2, 3x – 1, 2x + 6) seja uma P.A.
Resolução
Para
que a sequência
(2x – 2, 3x – 1, 2x + 6) seja uma P.A., temos a seguinte
condição:
3x
– 1 - ( 2x – 2) = 2x + 6 - ( 3x – 1)
3x
– 1 – 2x + 2 = 2x + 6 – 3x + 1
3x
– 2x – 2x + 3x = 6 + 1 + 1 – 2
2x
= 6
x
= 3
6.
Numa P.A. decrescente de
três termos, a soma desses termos é 6 e o produto é -24. Calcule a
P.A.
Resolução
Quando
se conhece a soma dos termos, então podemos representar a P.A por (x
- r, x, x + r)
Pelo
enunciado temos:
x
– r + x + x + r = 6 → x
= 2 (1)
Também
sabemos que:
(x
– r). x.(x + r) = - 24 (2)
Substituindo
(1) em (2):
(2
– r). 2.(2 + r) = - 24
(2
– r).(2 + r) = -24/2 = - 12
4
– r² = - 12
r²
= 16
r'
= 4 e r'' = - 4
Como
a P.A. é decrescente, só nos interessa r = - 4
Substituindo
em (x - r, x, x + r), obtemos:
P.A.
(6, 2, -2)
7.
(Faap-SP) As medidas dos
ângulos internos de um triângulo, em ordem crescente, formam uma
progressão aritmética. A medida do maior desses ângulos é o dobro
da medida do menor. O maior ângulo interno desse triângulo mede:
a)
68º
b)
72º
c)
76º
d)
80º
e)
82º
Resolução
Quando
se conhece a soma dos termos, então podemos representar a P.A por (x
- r, x, x + r)
A
soma dos ângulos internos
de um triângulo qualquer é 180º, então:
x
– r + x + x + r = 180º
3x
= 180º
x
= 180/3
x
= 60º
Conforme
o enunciado da questão, a
medida do maior desses ângulos é o dobro da medida do menor, logo:
x
+ r = 2(x
– r)
x
+ r = 2x – 2r
x
= 3r
r
= 60/3
r
= 20
Substituindo
em (x - r, x, x + r), temos os seguintes ângulos: 40º, 60º
80º
Resposta:
d
8.
Calcule a soma dos vinte
primeiros termos da P.A. (3, 7, 11, …).
Resolução
r
= 7 – 3 = 4
an
= a1
+ (n -1 ) r
a20
= 3
+ (20
-1 ) . 4
a20
= 3
+ 19
. 4 = 79
Sn
= (a1
+ an)n/2
S20
= (3+
79).20/2
S20
= 82.10
= 820
S20
= 820
9.
(PUC-RIO) Temos uma
progressão aritmética de 20 termos onde o 1º termo é igual a 5. A
soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O
décimo termo é igual a:
A)
20
B)
21
C)
22
D)
23
E)
24
Resolução
a1
=
5
a10
= 5
+ (10
-1 ) r
a10
= 5
+ 9r (1)
Sn
= (a1
+ an)n/2
480
= (5+
a20).20/2
480
= (5+
a20).10
(5+
a20)
= 480/10
(5+
a20)
= 48
a20
= 48 – 5 = 43
a20
= 43
a20
= 5
+ (20
-1 ).r
43
= 5 + 19r
19r
= 43 – 5
19r
= 38
r
= 38/19 = 2
r
= 2
Substituindo
r em (1) temos:
a10
= 5
+ 9.2
a10
= 5
+ 18 = 23
Resposta:
D
10.
(PUC-RIO)A soma de todos os números naturais ímpares de 3
algarismos é:
A)
220.000
B)
247.500
C)
277.500
D)
450.000
E)
495.000
Resolução:
Números
naturais ímpares de 3 algarismos temos:
(101,
103, …, 999), formam uma P.A. de r = 2
a1
= 101
an
= 999
r
= 2
an
= a1
+ (n -1 ) r
999
= 101 + (n – 1).2
999
– 101 = (n – 1).2
(n
– 1) = 898/2
n
– 1 = 449
n
= 449 + 1 = 450
Sn
= (a1
+ an)n/2
Sn
= (101
+ 999)450/2
Sn
= 1100.225
Sn
= 247500
Resposta:
B