DEFINIÇÃO:
Chama-se
função exponencial qualquer função f de R em R+* dada
por uma lei da forma f(x) = ax, em que a é um número
real dado, a > 0 e a ≠ 1.
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Se a > 0 (função crescente)
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Se 0 < a < 1 ( função decrescente)
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PROPRIEDADES
IMPORTANTES
Sendo
a e b reais e m e n naturais, valem as seguintes propriedades:
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EXEMPLOS:
1.
Calcule em uma única potência:
a)
[11³ . (114)² . 11]/116
RESOLUÇÃO
[11³
. (114)² . 11]/116
[11³
. 118 . 11]/116
113
+ 8 + 1/116
1112/116
1112
– 6 = 116
RESPOSTA:
116
b)
[10 . 10-5 . (10²)-3]/(10 - 4)3
RESOLUÇÃO
[10
. 10-5 . (10²)-3]/10 -12
[10
. 10-5 . 10-6]/10 -12
101
– 5 – 6/10 -12
10
– 10/10 -12
10
-10 + 12 = 10 2
RESPOSTA:
10 2
2.
Calcule:
a)
a metade de 2³²
RESOLUÇÃO
metade:
2³²/2= 232 – 1 = 231
RESPOSTA:
231
b)
a décima parte de 10¹³
RESOLUÇÃO
a
décima parte: 10¹³/10 = 1013 – 1 = 1012
RESPOSTA:
1012
c)
o triplo de 3²¹
RESOLUÇÃO
o triplo de 3²¹ = 3 . 3²¹ = 321 + 1 = 322
RESPOSTA: 322
o triplo de 3²¹ = 3 . 3²¹ = 321 + 1 = 322
RESPOSTA: 322
3.
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal
forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0
. 2 – 0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após
10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor
que ela foi comprada.
RESOLUÇÃO
Temos
que v(10) = 12 000, então:
v(10)
= v0 . 2 – 0,2.10
12
000 = v0 . 2 –2
12
000 = v0 .1/4
12
000 : 1/ 4 = v0
v0
= 12 000 . 4
v0
= 48 000
RESPOSTA:
v0 = 48 000
4.
(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um
país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano,
de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em
bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
RESOLUÇÃO
Temos
a seguinte função exponencial
P(x)
= P0 . (1 + i)t
P(x)
= 500 . (1 + 0,03)20
P(x)
= 500 . 1,0320
P(x)
= 500 . 1,80
P(x)
= 900
RESPOSTA:
O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.
5.
Resolva,
em R, as seguintes equações exponenciais:
a)
11 2x²
– 5x + 2
= 1
RESOLUÇÃO
11
2x²
– 5x + 2
= 1
11
2x²
– 5x + 2
= 110
Resolvendo
a equação do 2º grau 2x²
– 5x + 2 =
0 temos:
∆
=
b² – 4ac
∆
=
(-5)² – 4.2.2
∆
=
25
– 16 = 9
x'
= (5 + √9)/4
x'
= 2
x''
= (5
- √9)/4
x''
= ½
S
= {½, 2}
b) 0,2 x + 1 = √125
RESOLUÇÃO
0,2
x + 1
= √125
(1/5)
x + 1 =
(125)1/2
(5-1)
x + 1
=
(53)1/2
(5)
- x - 1
=
(5)3/2
-
x – 1 = 3/2
-
x = 1 + 3/2 . (-1)
x
= -1 – 3/2
x
= -5/2
S
= { - 5/2}
c)
103x = 100000
RESOLUÇÃO
103x
= 100000
103x
= 105
3x
= 5
x
= 5/3
S
{5/3}
d)
10x . 10x + 2 = 1000
RESOLUÇÃO
10x
. 10x
+ 2
= 1000
10x
. 10x
.102
= 10³
102x
. 102
= 10³
102x
= 10³/ 102
102x
=
10¹
2x
= 1
x
= ½
S
{½}
e)
2 4x + 1 . 8 – x + 3 = 1/16
RESOLUÇÃO
24x
+ 1 . 8 – x + 3 = 1/16
24x
+ 1 . (2³) – x + 3 = 16 - 1
24x
+ 1 . 2 –3x + 9 =
2- 4
2
4x . 2 . 2 –3x
. 2 9 = 2- 4
2
4x . 2 –3x
. 2. 29 = 2- 4
2
4x – 3x . 2. 29 = 2- 4
2
x = 2- 4/ 210
2
x = 2- 4 - 10
2
x = 2- 14
x
= -1 4
S
{- 14}
f)
5 x + 3 – 5 x + 2 – 11 . 5 x =
89
RESOLUÇÃO
5
x
+ 3
– 5
x + 2
– 11 . 5 x
= 89
5
x . 5 3 – 5 x . 5 2 –
11 . 5 x = 89
5
x . 125 – 5 x . 25 – 11 . 5 x =
89
5
x(125 – 25 – 11) = 89
5
x . 89= 89
5
x = 89/89
5
x = 1
5
x = 50
x
= 0
S
{0}
g)
(10 x + 5 x)/20 x = 6
RESOLUÇÃO
(2.5)
x + 5 x)/(4. 5) x = 6
2x
.5x + 5x/4x . 5x =
6
5x(2x
+ 1)/ 4x . 5x = 6
2x
+ 1 = 6. 4x
2x
+ 1 = 6 . (2x)2
Fazendo
2x = y, temos:
y
+ 1 = 6y²
6y²
– y – 1 = 0
∆
=
b² – 4ac
∆
=
1
– 4.6.(-1) = 25
y'
= (1 + √25)12
y'
= (1 + 5)12
y'
= ½
y''
< 0 ( não satisfaz)
Se
2x
= y, enão:
2x
= ½
2x
= 2-1
x
= - 1
S
{-1}
h)
(10 x + 20 x)/(1 + 2x) = 100
RESOLUÇÃO
(10
x + 20 x)/(1 + 2x) = 100
[10
x + (2. 10) x]/(1 + 2x) = 100
[10
x + 2x. 10x]/(1 + 2x) =
100
10
x[1 + 2x]//(1 + 2x) = 100
10
x = 10²
x
= 2
S
= {2}