Função logarítmica

DEFINIÇÃO:

Sendo a e b números reais positivos (a > 0 e b > 0), com a ≠ 0, chama-se logaritmo de b na base a o expoente x tal que a^x = b, ou seja, log_ab = x ↔ a^x = b.

- a é a base do logaritmos;

- b é o logaritmando;

- x é o logaritmo.

PROPRIEDADES
P1. logbb = 1	P5. alogab = b
P2. loga1 = 0	P6. logab.c = logab + logac
P3. logabn = n . logab (para todo n real)	P7. logab/c = logab - logac
P4. logbbn = n (para todo n real)	P8. Mudança de base: logab = logkb/logka (k > o e k ≠ 0)
FUNÇÃO LOGARITMICA
A função f(x) = logax é crescente (a > 1)	A função f(x) = logax é decrescente (0 < a < 1)
Portanto, para a real  e  a > 1, temos que: loga (x1) > loga (x2)  Þ  x1 > x2 e loga (x1) < loga (x2)  Þ  0 < x1 < x2	Portanto, para a real e 0 < a < 1, temos que: loga (x1) < loga (x2) Þ x1 > x2 e loga (x1) > loga (x2) Þ  x1 < x2
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Se, logax = logay, então x = y, para quaisquer números reais positivos x, y e a, com a ≠ 1

EXEMPLOS:

1. Calcule log₂8 + log₃9 + log₅5

Resolução

log₂8 ↔ 8 = 2^{x →} 2³ = 2^x ↔ x = 3

log₃9 ↔ 9 = 3^{x →} 3² = 3^x ↔ x = 2

log₅5 ↔ 5 = 5^{x →} 5¹ = 5^x ↔ x = 1

Logo, log₂8 + log₃9 + log₅5 = 3 + 2 + 1 = 6

2. Calcule log₄1 + log₃√3 + log_1/28

Resolução

log₄1 ↔ 1 = 4^{x →} 4⁰ = 4^x ↔ x = 0

log₃√3 ↔ √3 = 3^{x →} 3^1/2 = 3^x ↔ x = 1/2

log_1/28 ↔ 8 = (1/2)^{x →} 2³ = 2^{- x} ↔ x = - 3

Logo, log₄1 + log₃√3 + log_1/28 = ½ + (-3) = -5/2

3. Calcule a expressão 4 ^{3 + log}₄² + 5^{1 – log}₅⁴

Resolução

4 ^{3 + log}₄² ↔ 4³ . 4 ^log₄² = 64.2 = 128

5^{1 – log}₅⁴ ↔ 5¹/5 ^log₅⁴ = 5/4 = 5/4

Logo, 4 ^{3 + log}₄² + 5^{1 – log}₅⁴ = 128 + 5/4 = 517/4

4. Calcule o valor da expressão log₉^(log₄⁶⁴⁾ + log₄^(log₃⁸¹⁾

Resolução
* log₄64 ↔ 64 = 4^x → 4³ = 4^x ↔ x = 3

log₉^(log₄⁶⁴⁾ ↔ 3 = 9^x → 3 = (3²)^x ↔ 3¹ = 3²^x → x = ½

* log₃81 ↔ 81 = 3^x → 3⁴ = 3^x ↔ x = 4

log₄^(log₃⁸¹⁾ ↔ 4 = 4^x → 4¹ = 4^x ↔ x = 1

Logo, log₉^(log₄⁶⁴⁾ + log₄^(log₃⁸¹⁾ = ½ + 1 = 3/2

5. Adotando log₂5 = 2,32, calcule log₂125.

Resolução

Sabe-se que 125 = 5³

log₂125 ↔ log₂5³ = 3. log₂5 → 3. 2,32 = 6,96

6. (UFC-CE) Suponha que o nível sonoro b e a intensidade I de um som estejam relacionados pela equação logarítmica b = 120 + 10 log₁₀ I, em que b é medido em decibéis e I, em watts por metro quadrado. Sejam I₁ a intensidade correspondente ao nível sonoro de 80 decibéis de um cruzamento de duas avenidas movimentadas e I₂ a intensidade correspondente ao nível sonoro de 60 decibéis do interior de um automóvel com ar-condicionado. A razão I₁/I₂ é igual a:

a) 1/10 
b) 1 
c) 10 
d) 100
e) 1000    

Resolução

80 = 120 + 10 · log₁₀ I_{1 →} – 40 = 10 · log₁₀ I₁

log₁₀ I₁ = – 4 _→ I₁ = 10^–4

60 = 120 + 10 · log₁₀ I_{2 →} – 60 = 10 · log₁₀ I₂

log₁₀ I₂ = – 6 _→ I₂ = 10 ^–6

^I₁^/I₂ = 10^-4/10^-6 = 10²

Resposta: D

7.  (UnB-DF) Estima-se que 1 350 m² de terra sejam necessários para fornecer alimento para uma pessoa. Admite-se, também, que há 30 × 1 350 bilhões de m² de terra arável no mundo e que, portanto, uma população máxima de 30 bilhões de pessoas pode ser sustentada, se não forem exploradas outras fontes de alimento. A população mundial, no início de 1987, foi estimada em 5 bilhões de habitantes. Considerando que a população continua a crescer, a uma taxa de 2% ao ano, e usando as aproximações ln 1,02 = 0,02; ln 2 = 0,70 e ln 3 = 1,10, determine em quantos anos, a partir de 1987, a Terra teria a máxima população que poderia ser sustentada.

Resolução

Se a taxa de crescimento é de 2% ao ano, depois de um ano a população, em bilhões de habitantes, será 5 · 1,02. Depois de x anos será 5 · (1,02)^x.

Logo, para as condições do problema:

30 = 5 · (1,02)^x _→ 6 = (1,02)^x

ln 6 = ln (1,02)^x

ln (2 · 3) = x · ln(1,02)

ln 2 + ln 3 = x · 0,02

0,70 + 1,10 = x · 0,02 _→ 1,80 = x · 0,02

x = 90

Resposta: 90 anos

8. (ESA) Aumentando-se um número x em 75 unidades, seu logaritmo na base 4 aumenta em 2 unidades. Pode-se afirmar que x é um número:
a) Irracional. 
b) Divisor de 8. 
c) Múltiplo de 3. 
d) Menor que 1. 
e) Maior que 4.

Resolução

Consideremos o número x e seu logaritmo na base 4 igual a um número a. Assim:

log₄x = a

Aumentando o número em 75 unidades (x + 75), seu logaritmo na base 4 aumenta em 2 unidades (a + 2), ou seja:

log₄(x + 75) = a + 2

Resolvendo:

log₄x = a _→  4^a = x

log₄(x + 75) = a + 2

4^{a +2} = x + 75

4^a . 4² = x + 75

x . 16 = x + 75

15x = 75

x = 5 (alternativa E)

9.  (Vunesp) Sejam x e y números reais, com       x > y. Se log₃(x – y) = m e (x + y) = 9, determine:

a) o valor de log₃(x + y);

b) log₃(x² – y²), em função de m.

Resolução

a) log₃(x + y) = log₃9 = 2.

b) log₃(x² – y²) = log₃ [(x + y) · (x – y)] = log₃ (x + y) + log₃ (x – y) = m + 2.

10. Se log 2 = x e log 3 = y, então log 72 é igual a:

a) 2x + 3y

b) 3x + 2y

c) 3x – 2y

d) 2x – 3y

e) x + y

Resolução

log72 = log(2³ · 3²) = log2³ + log3² _→ 3 · log2 + 2 · log3 = 3x + 2y

Resposta: B

11. Determine o valor da expressão E = 7 ^log₇⁶ – log₄4 + 1log₃1

Resolução

P5. 7 ^log₇⁶ = 6

P1. log₄4 = 1

P2. log₃1 = 0

Assim, E = 6 – 1 + 0 = 5

12. Determinar o valor da expressão E = 3^5log₃²

Resolução:

5log₃2 = log₃2⁵ = log₃32

P5. 3^log₃³² = 32

13. Adotando log₅7 = 1,21 e log₅2 = 0,43. Calcule log₅3,5.

Resolução:

log₅3,5 = log₅7/2

log₅7/2 = log₅7 - log₅2 → 1,25 – 0,43 = 0,78

14. (UFMG) O pH de uma solução aquosa é definido pela expressão pH = –log [H⁺], em que [H⁺] indica a concentração, em mol/L, de íons de hidrogênio na solução e log, o logaritmo na base 10.

Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador verificou que, nela, a concentração de íons de hidrogênio era [H⁺] = 5,4 · 10^–8 mol/L. Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores aproximados de 0,30, para log 2, e de 0,48, para     log 3.

Então, o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa solução foi:

a) 7,26 b) 7, 32 c) 7,58     d) 7,74 

Resolução

pH = –log [H⁺] = –log 5,4 · 10^–8

pH = –(log 5,4 + log 10^–8)

pH = –(log 54/10 + (–8))

pH = –(log 54 – log 10 – 8)

pH = –(log (3³ · 2) – 1 – 8) = –(log 3³ + log 2 – 9)

pH = –(3 · 0,48 + 0,30 – 9)

pH = 7,26

Resposta: A

15. Considerando log5 = 0,69 e log3 = 0,48, calcule log6;

Resolução:

log6 = log30/5

log30/5 = log30 – log5 = log(3. 10) – log5

log(3. 10) – log5 = log3 + log10 – log5 = 0,48 + 1 – 0,69 = 0,79

16. Adotando log₆11 = 1,34 e log₆2 = 0,37, calcule o valor da expressão log₆22 + log₂11.

Resolução:

log₆22 = log₆(11.2) = log₆11 + log₆2 = 1,34 + 0,37 = 1,71

log₂11 = log₆11/log₆2 = 1,34/0,37 = 3,6

log₆22 + log₂11 = 1,71 + 3,6 = 5,33

17. Resolva a equação log₆(3x – 1) = log₆(x +7)

Resolução:

Condição de existência:

|3x – 1 > 0

|x +7 > 0

3x – 1 = x + 7

3x – x = 7 + 1

2x = 8

x = 4

Como x = 4, satisfaz a condição de existência, então a solução da equação é S = {4}

18. (UNICAMP-SP) As populações de duas cidades,A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) = log₈ (1 + t)⁶ e B(t) = log₂(4t + 4), onde a variável t representa o tempo em anos.
Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7? 

Resolução:

A(t) = log₈ (1 + t)⁶

A(1) = log₈ (1 + t)⁶ = log₈ (1 + 1)⁶ = log₈ 2⁶ = 6. log₈ 2 = 6. 1/3 = 2

A(7) = log₈ (1 + t)⁶ = log₈ (1 + 7)⁶ = log₈ 8⁶ = 6. log₈ 8 = 6. 1 = 6

Logo, nos instantes t = 1 e t = 7, a população da cidade A era, respectivamente, 2 mil e 6 mil habitantes.

B(t) = log₂(4t + 4)

B(1) = log₂(4 + 4) = log₂ 8 = log₂ 8 = 3

B(7) = log₂(4.7 + 4) = log₂(28 + 4) = log₂ 32 = log₂ 32 = 5

Logo, nos instantes t = 1 e t = 7, a população da cidade B era, respectivamente, 3 mil e 5 mil habitantes.

19. Resolva em R a equação log_x(x - 1) + log_x9 - log_x2 = 2

Resolução:

Condição de existência

| x – 1> 0

| x > 0

| x ≠ 1

Assim,

log_x(x - 1) + log_x9 - log_x2 = 2

log_x(x – 1). 9 - log_x2 = 2

log_x(x – 1)9/2 = 2

(x – 1)9/2 = x²

2x² – 9x + 9 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau 2x² – 9x + 9 = 0 temos:

x = 3/2 e x = 3

Como x = 3 e x = 3/2 satisfazem a condição de existência, então S = {3/2, 3}

20. (VUNESP) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções:

 Altura: H(t) = 1 + (0,8) . log₂ (t + 1)

 Diâmetro do tronco: D(t) = (0,1) . 2^{( t / 7)}

 Com H(t) e D(t) em metros e t em anos.

a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas.

b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.

Resolução:

a)

t = 0, no momento em que as árvores são plantadas

H(t) = 1 + (0,8) . log₂ (t + 1)

H(0) = 1 + (0,8) . log₂ (0 + 1) = 1 + (0,8) . log₂1 = 1 + (0,8) . 0 = 1

D(t) = (0,1) . 2 ^{( t / 7)}

D(0) = (0,1) . 2 ^{( t / 7)} = (0,1) . 2 ^{( 0 / 7)} = 0, 1

0,1m = 10cm

Portanto, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro da árvore no instante em que são plantadas são, respectivamente, 1m e 10cm.

b) Para H(t) = 3,4, temos:

H(t) = 1 + (0,8) . log₂ (t + 1)

3,4 = 1 + 0,8 . log₂ (t + 1) = 2, 4 = 0,8 . log₂ (t + 1)

log₂ (t + 1) = 2,4/08

log₂ (t + 1) = 3

t + 1 = 2³

t = 8 – 1 = 7

t = 7 anos

Logo, a árvore chega a 3,4m de altura em 7 anos.

Para t = 7, temos:

D(t) = (0,1) . 2 ^{( t / 7)}

D(7) = (0,1) . 2 ^{( 7 / 7)}

D(7) = 0,2

Portanto, o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore é 0,2 m ou 20cm.

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