Dados os pontos P = (x1, y1) e Q = (x2, y2), obtem-se a distância entre P e Q, traçando-se projeções destes pontos sobre os eixos coordenados e identificando um triângulo retângulo no gráfico e a partir daí, utiliza-se o Teorema de Pitágoras.
O segmento PQ será a hipotenusa do triângulo retângulo PQR, o segmento PR será um cateto e o segmento QR será o outro cateto, logo aplicando o teorema de Pitágoras temos:
EXEMPLOS
01) Dado
dois pontos A(1, 3) e B (9, 9). Calcule a distância de AB.
Resolução:
d(AB)²
= (xb
– xa)² + (yb – ya)² = √(xb
– xa)² + (yb – ya)²
d(AB)
= √(9
– 1)² + (9 – 3)²
d(AB)
= √8²
+ 6²
d(AB)
= √100
d(AB)
= 10
02) A
distância do ponto P (a,1) ao ponto A (0, 2) é igual a 3. Calcule o
número a.
Resolução:
d(PA)²
= (xa
– xp)² + (ya – yp)²
3²
= (0 – a)² + (2 – 1)²
9
= a² + 1
a²
= 8
a
= √8
a
= 2√2
03) Calcule
o perímetro do triângulo ABC, sabendo que A(1,3), B(7,3) e C(7,
11).
Resolução:
.
calculando o lado AB
d(AB)
=
√(xb
– xa)² + (yb – ya)²
d(AB)
=
√(7
– 1)²
+ (3
– 3)²
d(AB)
=
√6²
d(AB)
=
6
.
calculando
o lado AC
d(AC)
=
√(xc
– xa)² + (yc
– ya)²
d(AC)
=
√(7
– 1)²
+ (11
– 3)²
d(AC)
= √6²
+ 8²
d(AC)
=
√100
d(AC)
=
10
.
calculando
o lado BC
d(BC)
=
√(xc
– xb)²
+ (yc
– yb)²
d(BC)
=
√(7
– 7)²
+ (11
– 3)²
d(BC)
=
√8²
d(BC)
=
8
PERÍMETRO:
d(AB)
+
d(AC)
+
d(BC)
=
6 + 10 + 8 = 24
04) Determine
x para que o ponto P(x, 2x + 3) seja equidistante dos pontos A (1, 2)
e B (-2, 3).
Resolução:
Equidistante
significa que d(PA) = d(PB)
-
Calculando a distância de d(PA)
d(PA)
= √(xa
– xp)² + (ya – yp)²
d(PA)
=
√(1
– x)² + (2 – [2x + 3])²
d(PA)
=
√1
– 2x + x² + (-2x - 1)²
d(PA)
=
√1
– 2x + x² + (4x² + 4x+ 1)
d(PA)
=
√5x²
+
2x + 2
-
Calculando a distância de d(PB)
d(PB)
= √(xb
– xp)² + (yb
– yp)²
d(PB)
= √(-2
– x)²
+ (3
– [2x
+ 3])²
d(PB)
=
√4
+ 4x + x² + (-2x)²
d(PB)
=
√x²
+ 4x + 4 + 4x²
d(PB) = √5x² + 4x + 4
d(PB) = √5x² + 4x + 4
Se
Equidistante
significa que d(PA) = d(PB), então:
d(PA)
= d(PB)
√5x²
+
2x + 2 =
√5x²
+ 4x + 4
5x²
+
2x + 2 =
5x²
+ 4x + 4
-2x
= 2
- x
= 2/2
- x
= 1
x
= - 1
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Fonte: http://matematicarev.blogspot.com.br/2009/12/distancia-entre-dois-pontos-do-plano.html