Os cálculos envolvendo MMC e MDC são relacionados, respectivamente, com múltiplos e divisores de um número natural.
Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero.
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Em aritmética e em teoria dos números o mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números inteiros é o menor inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente desses números.
Propriedade fundamental do MMC
Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do MMC destes números.
Observação:
- Dados dois números inteiros a e b, sendo a divisível por b, então MMC(a, b) = a
Cálculo de MMC por meio da decomposição simultânea dos números
Exemplos
1) Calcular o MMC de 8, 12 e 28
Primeiro: alinhamos os três números, 8, 12 e 28, e dividimos todos os números que podem ser divididos pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido:
Segundo: repetimos esse procedimento sucessivamente com o 2, depois com o 3 e, depois com o 7, até que a última linha só contenha algarismos 1:
Terceiro: agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o MMC procurado:
MMC 8, 12, 28 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7 = 168
1. (UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os três cargos em 1989. A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano?
RESOLUÇÃO
Temos que encontrar o menor número (diferente de zero) que é múltiplo de 3, de 4 e de 6 ao mesmo tempo, ou seja, temos que encontrar o Mínimo Múltiplo Comum de 3, 4 e 6.
2 .2 . 3 = 12
Fatorando 3 , 4 e 6 simultaneamente encontramos 22× 3. Logo, M.M.C. (3 , 4 , 6) = 12. Assim, a próxima eleição simultânea acontecerá em 1989 + 12 = 2001.
2. (FUVEST) No alto da torre tem uma emissora de televisão, duas luzes piscam com frequências diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se em certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?
a) 12.
b) 10.
c) 20.
d) 15.
e) 30.
RESPOSTA: A
RESOLUÇÃO
Se uma luz pisca 15 vezes por minuto, ela piscará uma vez a cada 4s.
Se uma luz pisca 10 vezes por minuto, ela piscará uma vez a cada 6s.
Se acharmos o MMC de 4 e 6, encontraremos 12, ou seja, elas voltarão a piscar juntas após 12s.
3. (EPCAR) Um relógio bate a cada 15 minutos , outro relógio a cada 25 minutos e o terceiro a cada 40 minutos. O menor intervalo de tempo decorrido entre as batidas simultâneas dos três relógios é:
a) 1h
b) 10h
c) 20h
d) 30h
e) 35h
RESPOSTA: B
RESOLUÇÃO
Basta encontrar o MMC desses números:
15,25,40 | 2
15,25,20 | 2
15,25,10 | 2
15,25,5 | 3
5,25,5 | 5
1,5,1 | 5
1,1,1 2.2.2.3.5.5= 600 - Que é igual a Minutos.
Portanto, temos:
1 h - 60 min
x - 600 min
Regra de três, x= 10 horas
4. (Cesgranrio) Se o mínimo múltiplo comum entre os números 6 e k é maior do que 31 e menor do que 41, então o número k é:
a) 40.
b) 36.
c) 34.
d) 33.
e) 32.
RESPOSTA: B
RESOLUÇÃO
Se. todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do MMC destes números, então:
O MMC (6, K), obrigatoriamente, será um múltiplo de 6 e o único múltiplo de 6 entre 31 e 41 é 36.
Decompondo o 6 em fatores primos temos: 2¹. 3¹ = 6
Decompondo o 36, temos: 2².3² = 36
Como o MMC é o produto de todos os fatores elevados aos maiores expoentes, o número k só poderá ser 36.
5. (ACAFE) Num painel de propaganda, três luminosos se acendem em intervalos regulares: o primeiro a cada 12 segundos, o segundo a cada 18 segundos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em dado instante, os três se acenderem ao mesmo tempo, os luminosos voltarão a se acender, simultaneamente, depois de:
a) 2 minutos e 30 segundos
b) 3 minutos
c) 2 minutos
d) 1 minuto e 30 segundos
e) 36 segundos
RESPOSTA: B
RESOLUÇÃO
Calculando o MMC de 12, 18 e 30 temos:
MMC(12, 18, 30) = 180,
que corresponde 180 segundos.
180 segundos equivale a 3 minutos
6. (VUNESP) Em uma floricultura, há menos de 65 botões de rosas e um funcionário está encarregado de fazer ramalhetes, todos com a mesma quantidade de botões. Ao iniciar o trabalho, esse funcionário percebeu que se colocasse em cada ramalhete 3, 5 ou 12 botões de rosas, sempre sobrariam 2 botões. O número de botões de rosas era
(A) 54.
(B) 56.
(C) 58.
(D) 60.
(E) 62.
RESPOSTA: E
RESOLUÇÃO
Calculando MMC de 3, 5 e 12
MMC (3, 5, 12) = 60